Definición teórica de los números naturales
De hecho, no podemos demostrar el principio de buen orden con sólo las propiedades conocidas que los números naturales satisfacen bajo la adición y la multiplicación. Por lo tanto, consideraremos el principio de ordenación como un axioma. Sin embargo, resulta interesante que el principio de inducción matemática y el principio de buen orden son lógicamente equivalentes. Esto significa que si se acepta uno como axioma, se puede utilizar para demostrar el otro.
(\(\Rightarrow\)) Supongamos que \(S\) es un conjunto no vacío de números naturales que no tiene el elemento más pequeño. Sea \[R = \{ x\in\mathbb{N} \mid x\leq s \mbox{ para cada } s\in S\}.\} Como \(S\) no tiene un elemento más pequeño, es evidente que \(R\cap S = \emptyset\). También es obvio que \ (1\ en R\). Supongamos que \(k\ en R\). Entonces cualquier número natural menor o igual que \(k\) debe ser también menor o igual que \(s\) para cada \(s\ en S\). Por tanto, \(1,2,\ldots,k \Nen R\). Dado que \(R\cap S=\emptyset\), encontramos \(1,2,\ldots,k\notin S\). Si \(k+1\ en S\), entonces \(k+1\) habría sido el elemento más pequeño de \(S\). Esta contradicción muestra que \(k+1\en R\). Por lo tanto, el principio de inducción matemática habría implicado que \(R=\mathbb{N}). Eso haría que \(S\) fuera un conjunto vacío, lo que contradice la suposición de que \(S\) es no vacío. Por lo tanto, cualquier conjunto no vacío de números naturales debe tener un elemento más pequeño.
Números naturales positivos
Los números utilizados para contar se denominan números cardinales, y los utilizados para ordenar se llaman números ordinales. Los números naturales se utilizan a veces como etiquetas, conocidas como números nominales, que no tienen ninguna de las propiedades de los números en sentido matemático (por ejemplo, los números de las camisetas deportivas)[1][2].
Los números naturales son una base a partir de la cual se pueden construir muchos otros conjuntos numéricos por extensión: los números enteros, incluyendo (si aún no está) el elemento neutro 0 y un inverso aditivo (-n) para cada número natural no n; los números racionales, incluyendo un inverso multiplicativo (
) para cada número entero distinto de cero n (y también el producto de estos inversos por los enteros); los números reales, incluyendo con los racionales los límites de las secuencias de Cauchy (convergentes) de los racionales; los números complejos, incluyendo con los números reales la raíz cuadrada no resuelta de menos uno (y también las sumas y los productos de las mismas); y así sucesivamente[c][d] Esta cadena de extensiones hace que los números naturales estén canónicamente incrustados (identificados) en los otros sistemas numéricos.
Teoría de los conjuntos de tipo ordenado
Los números naturales son una parte del sistema numérico, que incluye todos los enteros positivos del 1 al infinito. Los números naturales también se llaman números de conteo porque no incluyen el cero ni los números negativos. Son una parte de los números reales que incluyen sólo los enteros positivos, pero no el cero, las fracciones, los decimales y los números negativos.
Vemos números en todas partes, para contar objetos, para representar o cambiar dinero, para medir la temperatura, para decir la hora, etc. Estos números que se utilizan para contar objetos se llaman «números naturales». Por ejemplo, al contar objetos, decimos 5 tazas, 6 libros, 1 botella, etc.
Un conjunto es una colección de elementos (números en este contexto). El conjunto de números naturales en matemáticas se escribe como {1,2,3,…}. El conjunto de números naturales se denota con el símbolo N. N = {1,2,3,4,5,…∞}
El número natural más pequeño es el 1. Sabemos que el elemento más pequeño de N es el 1 y que para cada elemento de N, podemos hablar del siguiente elemento en términos de 1 y N (que es 1 más que ese elemento). Por ejemplo, dos es uno más que uno, tres es uno más que dos, y así sucesivamente.
Números reales
Kathryn ha impartido clases de matemáticas en institutos y universidades durante más de 10 años. Tiene un doctorado en Matemáticas Aplicadas por la Universidad de Wisconsin-Milwaukee, un máster en Matemáticas por la Universidad Estatal de Florida y una licenciatura en Matemáticas por la Universidad de Wisconsin-Madison.
Los números naturales son los que se utilizan normalmente para contar. Aprende la definición de los números naturales y sobre la confusión que rodea al cero. Comprueba cómo se enumeran los elementos de un conjunto con algunos ejemplos, ve por qué al sumar números naturales siempre se obtiene otro número natural, y aprende por qué esto es diferente con la resta y la división.
Fíjate en que hay una flecha después del 11, lo que significa que los números son eternos. Una cosa que hay que notar es que los números que se encuentran entre los números para contar, como 2 1/2 o 4,15, no están incluidos – no son números naturales.
En los siguientes ejemplos, los alumnos demostrarán su conocimiento del conjunto de los números naturales y su comparación con otros conjuntos de números. Se explorarán otras operaciones con números naturales para determinar si el resultado sigue siendo un número natural. Después de completar los ejemplos, los estudiantes deben tener una idea sólida de lo que son los números naturales y cómo se diferencian de otros conjuntos de números.